ข้อสอบกลางภาค Signal Analysis ภาคต้น ๒๕๔๗

คณะวิศวกรรมศาสตร์ มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร์   ข้อสอบกลางภาคการศึกษาต้น ปีการศึกษา ๒๕๔๗ รายวิชา ๒๐๔๓๗๑ เทคนิคการแปลงในการวิเคราะห์สัญญาณ หมู่ที่ ๑ วันพฤหัสบดีที่ ๒๙ กรกฎาคม พ.ศ. ๒๕๔๗ เวลา ๑๖.๐๐-๑๙.๐๐ คำสั่ง ๑. ข้อสอบมีทั้งสิ้น ๗ ข้อ ๗ หน้า (๘ แผ่น นับรวมปก) คะแนนเต็ม ๗๐ คะแนน ๒. เขียน ชื่อ‑นามสกุล และเลขประจำตัว ลงในกระดาษคำถามทุกแผ่น ๓. ทำข้อสอบทั้งหมดลงในกระดาษคำถาม ๔. เขียนคำตอบในด้านที่มีคำถามเท่านั้น อนุญาตให้ใช้หน้าที่ว่างเป็นกระดาษทดได้ แต่จะไม่นับเป็นคำตอบ ๕. ในการเขียนคำตอบ ให้ใช้ปากกาหมึกสีดำหรือน้ำเงิน หรือดินสอดำเท่านั้น ๖. อนุญาตให้นำเอกสารใดๆเข้าในห้องสอบ ๗. อนุญาตให้นำเครื่องคิดเลขใดๆเข้าในห้องสอบ ๘. ไม่อนุญาตให้นำเครื่องคำนวณที่มีพอร์ตสื่อสารแบบไร้สายเข้ามาในห้องสอบ ๙. ห้ามแยกข้อสอบออกจากกัน หากข้อสอบแยกออกจากกันให้แจ้งกรรมการทันที ๑๐. อุปกรณ์สื่อสารที่เปิดอยู่ทุกชนิด ถือเป็นการส่อเจตนาทุจริต

ข้อที่	๑	๒	๓	๔	๕	๖	๗	รวม
คะแนนเต็ม	๑๐	๑๐	๑๐	๑๐	๑๐	๑๐	๑๐	๗๐
แต้ม

อ.นนทวัฒน์ จันทร์เจริญ	ประธานกรรมการอำนวยการสอบ
อ.ดร.พีรวัฒน์ วัฒนพงศ์	กรรมการออกข้อสอบ
ผศ.ดร.พันธุ์ปิติ เปี่ยมสง่า	กรรมการออกข้อสอบ

---

๑ (๑๐ คะแนน)

จากกราฟ ภาพ (ก)—(ซ) ด้านล่างนี้ แสดงเฉพาะลักษณะคร่าวๆของสัญญาณ โดยแกนตั้งอาจเป็นหรือ ก็ได้ แกนนอนอาจเป็น หรือก็ได้ และกราฟก็ไม่ได้แสดงสเกลที่ถูกต้อง ถ้ากำหนดให้ DT = discrete time, CT = continuous time, FT = Fourier Transform, FS = Fourier Series จงจับคู่รูปกราฟของการแปลงจากต้นทางที่กำหนดให้

๑.๑ (ก)? (๒ คะแนน) ตอบ ___(ค)_____	๑.๒ (ค)? (๒ คะแนน) ตอบ___(ก)_____
๑.๓ (ง)? (๒ คะแนน) ตอบ___(ฉ)_____	๑.๔ (จ)? (๒ คะแนน) ตอบ___(ง)_____
๑.๕ (ฉ)? (๒ คะแนน) ตอบ___(ง)_____

(ก)	(ข)
(ค)	(ง)
(จ)	(ฉ)
(ช)	(ซ)

---

๒ (๑๐ คะแนน – ข้อย่อยข้อละ ๒ คะแนน เลือกทำ ๕ ข้อ)

กำหนดให้

• · และ เป็นสัญญาณเข้าที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามเวลาตามลำดับ
• · และ เป็นสัญญาณออกที่ไม่ต่อเนื่องและต่อเนื่องตามเวลาตามลำดับ

ให้ตอบว่าระบบต่อไปนี้ เป็น causal, have memory, linear, หรือ time-invariant โดยกำหนดให้ ทุกระบบนั้น ไม่มีพลังงานใดๆ ก่อนเวลา โดยใส่เฉพาะเครื่องหมาย ü ในตารางด้านล่างนี้

ใส่ หน้าข้อที่เลือกห้าข้อ	ระบบ	Causal	have memory	Linear	time-invariant

---

๓ (๑๐ คะแนน -- เลือกทำหนึ่งข้อระหว่าง (ก) และ (ข))

(ก) กำหนดให้ , ให้แสดงการหา

(ข) ถ้า, โดยที่ ให้นิสิตหา

นิสิตเลือกทำข้อ ___________ (ระบุ)

(ก)

(ข)

---

๔ (๑๐ คะแนน)

กำหนดให้นาฬิกาแบบเข็มเรือนหนึ่งซึ่งตั้งเวลาเริ่มต้นไว้ที่ ๑๒ นาฬิกา โดยเข็มนาทีจะกระโดดในตำแหน่งของนาทีเท่านั้น นาฬิกาเรือนนี้ได้รับการดัดแปลงให้อัตราเร็วรอบของเข็มนาทีสูงขึ้น เท่า โดยอัตราเร็วรอบของเข็มชั่วโมงเปลี่ยนตามสัดส่วน

หากเราตั้งกล้องถ่ายภาพยนตร์ที่ใช้ฟิล์มซึ่งมีอัตราการชักภาพ (Sampling rate) ๑๐๐ ภาพต่อวินาที เพื่อถ่ายภาพนาฬิกาดัดแปลงเรือนนี้ จากนั้นนำภาพที่ชักออกมามาแสดงผลเป็นภาพยนตร์ด้วยการฉายหน้าจอซ้ำ

· ถ้า แล้วให้วาดภาพ ๑๐ เฟรมแรกของการชักภาพโดยแสดงเฉพาะตำแหน่งของเข็มยาว แสดงบนฟิล์มดังนี้

เฟรมที่ 1	เฟรมที่ 2	เฟรมที่ 3	เฟรมที่ 4	เฟรมที่ 5
เฟรมที่ 6	เฟรมที่ 7	เฟรมที่ 8	เฟรมที่ 9	เฟรมที่ 10

การมองภาพเคลื่อนไหวในภาพยนตร์ เป็นการนำภาพจากหลายๆเฟรมมาแสดงผลอย่างต่อเนื่องด้วยอัตราเร็วที่สูงกว่าอัตราการชักสัญญาณของตาของมนุษย์ เราจะเห็นได้จากว่าหนังยุคเก่าจะมีการกระพริบของภาพหรือมิฉะนั้นการเคลื่อนที่ของภาพจะเร็วกว่าความเป็นจริง และตาของคนเราจะสังเกตการกระพริบได้เมื่อภาพที่ตำแหน่งเดิมหายไปแล้วปรากฏใหม่นานเกินกว่า ๑/๓ วินาที ถ้าเอาฟิล์มข้างต้นมาฉายด้วยเครื่องฉายด้วยอัตราการแสดงผล (Refresh rate) ๖๐ ภาพต่อวินาที โดยที่อัตราการชักสัญญาณของลูกตาคือ ๓๐ ภาพต่อวินาที ถามว่าภาพที่เห็นบนจอภาพด้วยตาจะมีทิศทางและอัตราเร็วอย่างไร

คาบของเข็มนาทีคือ 3600 วินาทีต่อรอบ ดังนั้นอัตราเร็วของการหมุนคือ 1/3600 รอบ/วินาที เพิ่มอัตราเร็วขึ้น 90000 เท่าดังนั้น อัตราเร็วของเข็มคือ 25 รอบต่อวินาที ถ้าชักสัญญาณ 100 ภาพ/วินาที เพราะฉะนั้น ในทุกคาบของการชักสัญญาณ ตำแหน่งของเข็มจะเคลื่อนไป 25/100 = ¼ รอบ ซึ่งแสดงภาพของ 10 เฟรมแรกจากข้างต้น

ถ้าหากแสดงผลด้วยอัตราการฉายซ้ำเป็นสองเท่า (60/30) ของอัตราการชักภาพของตา ดังนั้น ตาจะเห็นภาพเว้นภาพ โดยที่ภาพจะมีลักษณะเป็นสองเข็มทำมุมกัน 180 องศา โดยการมองเห็นนี้ ขึ้นอยู่กับว่า ตาเริ่มต้นมองที่เฟรมใด ถ้ามองครั้งแรกที่เฟรมเลขคี่ ก็จะเห็นภาพในสองเข็มที่ 12 และ 6 นาฬิกา แต่ถ้ามองครั้งแรกที่เลขคู่ จะเห็นภาพเป็นสองเข็มที่ 3 และ 9 นาฬิกา อย่างไรก็ตามตำแหน่งของเข็มจะอยู่คงที่โดยจะมีการฉายซ้ำเข็มเดิมทุก 1/15 วินาที (คิดจาก อัตราเร็วของการฉายเฟรมซ้ำเฟรมของตำแหน่งเดิม ซึ่งจะเวียนมาทุก 4 เฟรม นั่นก็คือ 4/60à1/15) ซึ่งมีค่าน้อยกว่า 1/3 วินาที สรุปว่า ตาเราจะเห็นสองเข็มในทิศทางตรงกันข้ามกัน อยู่นิ่ง ไม่หมุน โดยภาพที่เห็นขึ้นอยู่กับภาพแรก

เพิ่มเติม อย่างไรก็ตาม สมมติฐานของโจทย์ไม่ตรงกับความเป็นจริงนัก เนื่องจากอัราการชักภาพของตาไม่คงที่ ทำให้เป็นไปได้อย่างมากที่ทำให้ไม่ได้รูปที่สม่ำเสมอ ถ้าตอบตามความเป็นจริง ตาคนจะเห็นเป็นรูป สี่เข็มที่ 3, 6, 9 12 นาฬิกา และอยู่นิ่ง แต่การพิจารณาอันนี้ไม่ได้อยู่ในเงื่อนไขของโจทย์

๕ (๑๐ คะแนน ทำทุกข้อ)

กำนดให้

• เป็นคาบของการชักสัญญาณ
• เป็นขบวนสัญญาณกระตุ้น (impulse train)ทุกๆคาบเวลา
• คือสัญญาณที่ถูกชัก (sampling) มาจากสัญญาณ โดยกำหนดให้และ
• คือผลลัพธ์ของระบบซึ่งได้จากการ reconstruction ด้วยการผ่านตัวกรองที่ให้สัญญาณความถี่ต่ำผ่าน (low-pass filter) ซึ่งตัวกรองนี้กำหนดให้เป็น

(ก) กำหนดให้ และ วินาที ให้วาดกราฟ (๒ คะแนน) และแสดงนิพจน์ (๓ คะแนน)

(ข) กำหนดให้ และ วินาที ให้วาดกราฟ (๒ คะแนน) และตอบว่าเกิด aliasing หรือไม่พร้อมอธิบาย (๓ คะแนน)

(ก)

,

จะเห็นได้ว่า lpf จะกรองความถี่ต่ำกว่า ดังนั้น และ

(ข)

เพราะฉะนั้นมีความถี่ทุกช่วงความถี่ ไม่เป็น band limited ดังนั้นจะเกิด aliasing เสมอไม่ว่า T จะเป็นเท่าใด

๖ (๑๐ คะแนน -- ทำทั้งสองข้อ)

(ก) ให้อธิบายว่าทำไมผลของ ซึ่งเป็นการแปลงมาจากสัญญาณที่ไม่ต่อเนื่องตามเวลา จึงเป็น periodic ทุกคาบความถี่ เสมอ ในขณะที่ การแปลงจากสัญญาณที่ต่อเนื่องาตามเวลา ไม่จำเป็นต้องเป็น periodic (๕ คะแนน)

นั้นจริงๆก็เป็น periodic ถ้าหากว่า ทั้งนี้การเปลี่ยนค่าของ และเป็นการเปลี่ยนค่าของ complex exponential ซึ่งเป็นการหมุนค่ารอบวงกลมหนึ่งหน่วย แต่เนื่องจาก จำนวนของแต่ละรอบนั้นคงที่เสมอ เนื่องจาก และ ทำให้เราสามารถเลือกค่า parameter เพิ่มเติมอีก และ เพื่อให้ได้เสมอ แต่กรณีของ นั้น เรามีเพียง ตัวเดียวเท่านั้น และค่าของ ก็ยังเป็นค่าต่อเนื่อง จึงทำให้ ไม่สามารถหาตำแหน่งที่เวียนซ้าในรอบได้

อาจมีผู้มีความเห็นค้านว่า เมือแบ่งย่อยลงไปใน ระหว่างค่า ก็อาจจะบอกว่าเราสามารถขยายระยะของการวนซ้ำออกไปจาก ตัวคูณร่วมน้อยของความที่ที่เลือกทั้งหมด ของทุกความถี่ทุกตัวนที่น้อยกว่า ซึ่งก็อาจจะกล่าวได้ว่าผลของ ก็เป็น periodic จริงๆก็ถูกต้องเพราะจากนิยามของ aperiodic signal ด้วย fourier นั้นก็คือ periodic ที่

(ข) ให้แสดงการพิสูจน์ Inverse Fourier Transform (๕ คะแนน)

จาก และดังนั้น

จาก

๗ (๑๐ คะแนน)

ระบบเวลาต่อเนื่อง Causal, LTI, Finite Dimension, initial at rest ระบบหนึ่งสามารถอธิบายได้ด้วยสมการอนุพันธ์

• · ให้หาผลตอบสนองสัญญาณกระตุ้น (impulse response) (๔ คะแนน)
• · ให้หาผลตอบสนองสัญญาณเข้า ถ้ากำหนดให้ (๖ คะแนน)

จากโจทย์ และดังนั้น

และ

สุดท้าย